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Problemas y paradojas famosos: datos curiosos y test
Lo esencial en 7 ideas, con datos curiosos, una historia ilustrada y un test para ver cuánto sabes.
Lo esencial
La paradoja de Zenón
Zenón sostenía que para cruzar una habitación primero tienes que cruzar la mitad, luego la mitad de lo que queda, y así sin fin, de modo que nunca llegas. Las sumas infinitas lo resuelven: las mitades suman 1.
Dato clave
½ + ¼ + ⅛ + … suma exactamente 1.
El problema de Monty Hall
Hay un premio detrás de una de tres puertas. Eliges una; el presentador, que sabe dónde está, abre otra y muestra una cabra. Si cambias de puerta, ganas dos de cada tres veces.
Dato clave
Muchos matemáticos se equivocaron cuando se hizo viral en 1990.
La paradoja del mentiroso
«Esta frase es falsa». Si es verdadera, es falsa; si es falsa, es verdadera. Paradojas como esta desconciertan a los pensadores desde la antigua Grecia.
Dato clave
La paradoja del mentiroso tiene más de 2000 años.
El hotel de Hilbert
Un hotel con infinitas habitaciones está lleno, y aun así cabe un huésped nuevo: todos se mudan a la habitación siguiente. El infinito no se comporta como los números normales.
Dato clave
David Hilbert describió el hotel en 1924.
Los puentes de Königsberg
¿Se podía recorrer Königsberg cruzando cada uno de sus siete puentes exactamente una vez? En 1736, Leonhard Euler demostró que es imposible.
Dato clave
La demostración de Euler marcó el nacimiento de la teoría de grafos.
El último teorema de Fermat
En 1637, Pierre de Fermat garabateó que tenía una demostración demasiado larga para caber en el margen. Hasta 1994 Andrew Wiles no logró demostrar el teorema.
Dato clave
La búsqueda duró más de 350 años.
Problemas sin resolver
Algunos problemas que parecen sencillos siguen abiertos. La conjetura de Goldbach dice que todo número par mayor que 2 es la suma de dos primos; se ha comprobado hasta números enormes, pero nunca se ha demostrado.
Dato clave
En 2000 se plantearon siete problemas del milenio, cada uno premiado con 1 millón de dólares.
Datos curiosos
Se dice que Zenón escribió unas 40 paradojas. Solo se conservan unas pocas, sobre todo porque Aristóteles escribió sobre ellas.
En un estudio de 2010, unas palomas aprendieron a cambiar siempre de puerta en el juego de Monty Hall, mientras que la mayoría de los humanos seguía quedándose con su primera puerta.
Un pariente antiguo de esta paradoja: Epiménides, un cretense, supuestamente dijo «todos los cretenses son mentirosos».
En el hotel de Hilbert caben incluso infinitos huéspedes nuevos: cada uno se muda a la habitación con el doble de su número, y quedan libres todas las impares.
Algunos puentes de Königsberg se perdieron en la Segunda Guerra Mundial. Con los que quedan hoy, el paseo de Euler sí es posible.
La primera demostración de Wiles, en 1993, tenía un fallo. Le costó más de un año arreglarlo.
Grigori Perelmán, que resolvió uno de los problemas del milenio, rechazó su premio de 1 millón de dólares.
Historia: Cambia siempre
Cambia siempre
1990. Un lector pregunta a la columnista Marilyn vos Savant por las tres puertas: después de que el presentador muestre una cabra, ¿conviene cambiar?
Ella dice que sí. Unos 10 000 lectores le escriben, muchos con doctorado, para decirle que se equivoca.
Tenía razón. Incluso el gran matemático Paul Erdős solo se lo creyó después de ver una simulación por ordenador.
¿Verdadero o falso?
Toca tu respuesta para ver si has acertado, y por qué.
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Pregunta 1 de 10
Infinitas mitades pueden sumar un total finito.
Ver la respuesta
Verdadero. Suman exactamente 1.
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Pregunta 2 de 10
En el problema de Monty Hall, cambiar gana 2 de cada 3 veces.
Ver la respuesta
Verdadero. Tu primera elección solo acertaba 1 de cada 3 veces.
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Pregunta 3 de 10
«Esta frase es falsa» no puede ser verdadera ni falsa sin contradicción.
Ver la respuesta
Verdadero. Cualquiera de las dos respuestas se contradice.
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Pregunta 4 de 10
Un hotel lleno con infinitas habitaciones aún puede alojar a un huésped nuevo.
Ver la respuesta
Verdadero. Todos se pasan a la habitación siguiente.
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Pregunta 5 de 10
Euler demostró que el paseo por los puentes de Königsberg era imposible.
Ver la respuesta
Verdadero. En 1736, y así nació la teoría de grafos.
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Pregunta 6 de 10
Andrew Wiles demostró el último teorema de Fermat.
Ver la respuesta
Verdadero. En 1994.
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Pregunta 7 de 10
La conjetura de Goldbach no se ha demostrado.
Ver la respuesta
Verdadero. Nadie la ha demostrado para todos los números pares.
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Pregunta 8 de 10
La paradoja de Zenón demuestra que el movimiento es imposible.
Ver la respuesta
Falso. Las sumas infinitas muestran cómo se puede llegar al final.
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Pregunta 9 de 10
Una vez abierta una puerta con cabra, quedarse o cambiar es al 50 %.
Ver la respuesta
Falso. La elección del presentador revela información.
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Pregunta 10 de 10
La paradoja del mentiroso la inventaron informáticos.
Ver la respuesta
Falso. Ya la discutían los filósofos de la antigua Grecia.
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Fuentes
- MacTutor History of Mathematics — Zeno, Euler, Fermat, Hilbert
- Clay Mathematics Institute — Millennium Prize Problems
- Stanford Encyclopedia of Philosophy — Zeno’s paradoxes, liar paradox
- Encyclopaedia Britannica — Monty Hall problem, Königsberg bridge problem
- Stanford Encyclopedia of Philosophy — sorites paradox, Russell’s paradox
- Clay Mathematics Institute — P vs NP
- Stanford Encyclopedia of Philosophy — sorites paradox, Russell’s paradox, the surprise exam paradox
